Рижская железная дорога2.963162.80108
Подоходный налог2.3285282.193427
Нагатинская улица2.1624352.036935
Общественная казна1.8849371.775037
Житная улица2.1314362.007336
ПолеВероятность % (Выход из тюрьмы)КатегорияВероятность % (Оставаться в тюрьме)Категория
Долгосрочные вероятности для каждого поля в игре «Монополия»
Заметьте, что цифры, указанные в таблице показывают процентный шанс того, что вы остановитесь на этом поле, а не то, что пройдете через него. Это учитывается, если вы перенаправляетесь на другое поле из-за карты из стопки «Шанс» или по какой-либо другой причине. Например, вы не можете остановиться на поле «Идите в тюрьму», так как если вы на нем остановитесь, то вы сразу пойдете в тюрьму и это надо учитывать. Вот почему вероятность попадания на поля «Шанс» и «Общественная казна» низкая.
Первая колонка обозначает среднюю вероятность попадания на каждое поле, когда игрок пользуется стратегией выхода из тюрьмы сразу после попадания в нее. Третья колонка для игрока, который остается в тюрьме так долго, насколько это возможно. Вторая и четвертая колонки содержат категорию поля по величине от наименея посещаемого до наиболее посещаемого. Отметьте высокую категорию полей 2, 4, 6, 8, 10 и 12 напротив полей «Тюрьма», это связано с возросшей вероятностью выхода из тюрьмы с помощью «дубля». В этой таблице и во всех последующих я разбил поле «тюрьма» на два: «visiting jail» P- в центре таблицы и «in jail» - в самом низу таблицы.
Внизу расположены две таблицы вероятностей попадания на все поля игры, выраженные в процентах. Я разделил вероятность попадания в тюрьму и нахождения в тюрьме. Номер, присвоенный каждому отдельному полю это процентный шанс попадания игрока на это поле после одного бросания костей, в длительный период. Например, в среднем, 3.18% бросания костей дадут результат попадания на не тюремное поле, "Площадь Маяковского". Конечно, для одинарного бросания костей, начиная на конкретном поле, шансы будут достаточно различаться, но на длительном периоде они будут средними. Внизу страницы я поместил матрицу, содержащую вероятность попадания на любое поле после одного бросания костей, начиная с каждого поля игровой доски. Она очень громоздкая, но если понадобится, она есть.
Долгосрочные вероятности для каждого поля
Как только я закончил составлять эту web страницу, я понял, что есть более эффективный метод вычисления вероятности. Было бы лучше, если бы я создал расширенную матрицу Маркова с тремя вариантами условий попадания на поле. Первый вариант, когда игроку на предыдущих двух ходах не выпадал «дубль», второй вариант, когда уже выпал один «дубль» и третий выпало два «дубля». Эта расширенная матрица могла бы гарантировать, что будет выведена точная вероятность и моделирование не понадобится вовсе. Если бы у меня было время и возможность переделать все таким способом, то было бы лучше.
В процессе вычислений я столкнулся с одной интересной сложностью. Подсчитывая вероятность по матрице Маркова нужноP предполагать, что последние два раза при бросании костей мог выпасть «дубль» (после трех дублей игрок отправляется в тюрьму). Вначале я учитывал эту возможность как 1/36, но на практике этот показатель различается для каждого поля и не для каждого поля он такой высокий. Я использовал свою моделирующую программу, чтобы определить эмпирическую вероятность для каждого поля и затем использовал эти значения в моей матричной программе Маркова. Я смоделировал 32 миллиарда бросков, чтобы получить эти подсчеты, так что их можно считать достоверными, и какие-либо отклонения от этих цифр абсолютно незначительны. Интересно, что вероятность выпадения двух дублей в предыдущие два хода мало различается на некоторых полях для двух тюремных стратегий. Кроме того, среднее значение броска костей при попадании на коммунальные услуги немного ниже или выше 7, в зависимости от типа коммунальных услуг и тюремной стратегии, которая влияет на стоимость аренды.
Я выяснил, что необходимо смоделировать две разные стратегии. Когда ты находишься в тюрьме из нее можно сразу выбраться, заплатив 50$ или используя карту «Бесплатно освободиться из тюрьмы», но можно и подождать пока выпадет «дубль» или, пропустив три хода заплатить за выход. В самом начале игры лучше как можно раньше выйти из тюрьмы, чтобы иметь больше возможностей купить собственность. Когда вся собственность уже куплена, становится выгоднее оставаться в тюрьме как можно дольше, чтобы не попасть на поле противника. Выбор стратегии изменяет вероятность для всех полей игровой доски, так как чем больше времени ты проводишь в тюрьме, тем меньше раз попадешь на другие поля. Я вычислил вероятность для обоих случаев и включил ее сюда. Я сравнил результаты моей моделирующей программы и программы Маркова, и результаты получились достаточно близкими, это позволило мне думать, что результаты можно считать достоверными.
Вначале я написал программу на языке C, которая имитировала игрока, кидающего кости и двигающегося по игровой доске огромное количество раз.P Она включала все правила попадания в тюрьму и карты «Шанс» и «Общественная козна». Хотя уже это дало хорошие приблизительные результаты, я решил, что хочу написать другую программу, которая вычислила бы точную вероятность, используя матрицу Маркова, это тот метод, который был описан в упрощенной форме в журнале Scientific American. Я использовал расширенную версию этой программы, чтобы разработать эту страницу.
Я был настолько заинтригован этой задачей, что решил вычислить вероятность попадания на различные поля, учитывая все правила игры. Я столкнулся с интересной задачей и в результате пришел к правильным решениям, которые вы сможете найти здесь вместеP с другими полезными производными данными. Так получилось, что я не увлекаюсь игрой в Монополию, но меня всегда интересовали задачи, связанные с вероятностью и статистикой, такой оказалась и эта задача.
Недавно я увидел статью в журнале Scientific American (Апрель 1996 года с дополнением, вышедшим в августе 1996 и апреле 1996), в которой обсуждалась вероятность попадания на различные поля игры «Монополия». Использовалась упрощенная модель игры без учета действия полей «Шанс» и «Общественная казна», а также различных путей попадания в тюрьму.
Вероятности в игре «Монополия»
Как выиграть в «Монополию»
Вероятности в игре «Монополия»
Комментариев нет:
Отправить комментарий